Поверхность вращения
Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической, дифференциальной и начертательной геометрии.
Примеры
- Круговая цилиндрическая поверхность (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой).
- Конус (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую).
- Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
- Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
- Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением эллипса вокруг одной из его осей).
- Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
- Катеноид (получается вращением цепной линии).
Площадь
Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.
Например, для тора с радиусами [math]\displaystyle{ r, R }[/math], площадь поверхности равна
- [math]\displaystyle{ S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R }[/math].
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой [math]\displaystyle{ y=f(x),\ a\le x \le b }[/math] вокруг оси [math]\displaystyle{ 0x }[/math] можно вычислить по формуле
- [math]\displaystyle{ S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx }[/math]
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой [math]\displaystyle{ x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\le t \le\beta }[/math] вокруг оси [math]\displaystyle{ 0x }[/math] можно вычислить по формуле
- [math]\displaystyle{ S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt }[/math]
Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат [math]\displaystyle{ r=\rho(\varphi),\ \alpha\le \varphi \le\beta }[/math] действительна формула
- [math]\displaystyle{ S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta \rho(\varphi) |\sin\varphi| \sqrt{\left(\rho(\varphi)\right)^2+\left(\rho'(\varphi)\right)^2}d\varphi }[/math]
Объём
Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.
Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой [math]\displaystyle{ y=f(x),\ a\le x \le b }[/math] вокруг оси [math]\displaystyle{ 0x }[/math] можно вычислить по формуле
- [math]\displaystyle{ V=\pi\int\limits_a^b f^2(x) dx }[/math]